Клубневая бегония

Два месяца назад - это в июле, значит я так понимаю - покупали растение, не клубень? Если так, то собстно клубня там может и не быть, т.к. у выращенных из черенков бегоний первые года три клубень  слишком мал, чтобы отправлять спать. Проверьте

Я свои клубневые бегонии в любом случае реже поливаю в сентябре, т.к. стоят на балконе до последнего (почти до заморозков) и залив не нужен ну совсем. Стебель отваливается сам. Можно хранить в этом же горшке в прохладном месте (возле балконной двери например), но у меня там места нет, поэтому выкапываю клубни, складываю в ведерко из-под майонеза, пересыпаю вермикулитом (за неимением торфа) и храню в холодильнике.

Спокойствие, только спокойствие  

Чтобы проверить наличие клубня, нужно аккуратненько, осторожненько, бережно подкопать землю вокруг стебля. Сверху, не разрушая кома. Если клубень в диаметре меньше 3 см, ИМХО на покой отправлять не стОит.
Маленькие беленькие насекомые - это скорей всего подуры, которые появляются от переувлажнения.  Поливайте чуть реже, и их станет меньше.  

Под краном - это жестоко
Ну что теперь... посадите в горшок меньшего размера, желательно в ту же землю. И обязательно сразу поставьте черенок укореняться.
Если в тряпочку  - значит клубня скорей всего нет.

Можно конечно, только вот осень сейчас, шансов меньше что укоренятся.
Я беру верхушку побега, длиной ок. 5 см, бутоны те что покрупнее выщипать, срезать под листовым узлом (острым ножиком!), нижний лист удалить - тоже срезать острым ножом. Я укореняю в водичке, у меня так лучше получается.  Температура обычная комнатная. Укореняются недели три.
Листом клубневые обычно не размножают. Я пробовала листом с пяткой - тоже хуже получается.